title: 力学基础梳理
力学基础梳理
剪力图和弯矩图
定义使其作用的构件产生顺时针旋转的剪力为正。
定义使构件上部受到压缩的弯矩为正，正弯矩使构件产生向上凹的变形。
弯矩图正坐标向下
连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用,则两个杆端的弯矩值相等,方向相反.
惯性矩
$正交坐标系公式：I_{z}=\int_A y^{2} \, dA$
$极惯性矩公式：I_{p}=\int_A \rho^{2} \, dA$
$矩形截面惯性矩：I_{z}=\frac{bh^{3}}{12}$
$圆形截面惯性矩：I_{z}=\frac{\pi}{12}R^{4}$
平均正应力
$$
\sigma = \frac{P}{A}
$$
$\sigma$ 是被积函数上的点上的平均应力分布
$P$ 是沿向内力的合力
$A$ 是被积函数区域
平均剪应力
$$
\tau_{avg} = \frac{V}{A}
$$
$τ_{avg}$ — 平均剪应力
$V$ — 剪应力方向施加在截面上的剪力
$A$ — 截面积
许用应力
所选的许用荷载要小于构件所能承受的极限荷载
目前设计中常用的一种方法是安全系数法(F.S.)
$$
F.S. = \frac{F_{\text{fail}}}{F_{\text{allow}}}
$$
任何截面的平均应力都不能超过
安全系数$F.S.$ ×许用应力$σ{allow}$ 或$τ{allow}$
正应变
$$
\varepsilon_{avg} = \frac{\Delta s' - \Delta s}{\Delta s}
$$
$$
\sigma = E \varepsilon
$$
剪应变
$$
\gamma_{nt}=\frac{\pi}{2}-\theta^{'}
$$
$$
τ = Gγ
$$
泊松比
$$
\nu=-\frac{\varepsilon_{lat}}{\varepsilon_{long}}
$$
$$
\nu=-\frac{\varepsilon_{横向}}{\varepsilon_{纵向}}
$$
三个材料常数E, ν, 和 G关系如下
$$
G=\frac{E}{2(1+\nu)}
$$
轴向弹力变形
一般情形
$$
\delta = \int_{0}^{L} \frac{P(x)}{A(x) E} \, dx
$$
其中：
$\delta$= 两点之间的相对位移
L = 两点间的距离
P(x) =与一端相距x处的截面轴力（内力）
A(x) = 杆件的截面积，表示为 x 的函数
E = 材料的弹性模量
等截面均质杆件
$$
\delta = \frac{PL}{A E}
$$
温度应力
由试验可知，长度为 的杆件其变形或长度变化量为
$$
\delta_{T}=\alpha\Delta TL
$$
$\delta_{T}$=杆长改变量
$\alpha$=线性膨胀系数。表示每摄氏度温度变化引起应变的量：1摄氏度 or 1/开尔文 or 1/华氏度
$ \Delta T $= 杆件的温度变化量
$L$= 初始杆长
弯曲正应力
直杆的纯弯曲变形
$$
\varepsilon = -\frac{y}{c}\varepsilon_{max}
$$
弯曲正应力公式
$$
\sigma_{\text{max}} = -\frac{Mc}{I_z} \\ \sigma = - \frac{My}{I_z}
$$
剪切公式
$$
\tau = \frac{VS}{It}
$$
其中：
( $\tau$ ) 代表剪应力。
( V ) 是剪力，即作用于横截面的力。
( S) 是静距，即到考虑点至剪切面积的重心的垂直距离与剪切面积的乘积。
$$
S = \int_{A'} y \, dA' = y' \bar{A'}
$$A’是杆件横截面上距离中和轴为y’的横线以外的面积
y’是A’面积的形心到中和轴的距离
( I ) 整个横截面对于中性轴的惯性矩
( t ) 是杆件在要求$\tau$ 的点处的横截面宽度
关于S的例子：
梁的变形
曲率
$$
\kappa = \frac{M}{EI_z}
$$
转角和挠度
$$
\kappa=\frac{1}{\rho} = \frac{d\theta}{dx} = \frac{d^2 \nu}{dx^2}
$$
从而推出
$$
\theta = \frac{dv}{dx} = \int \frac{M(x)}{EI} \, dx + C
$$
$$
v = \iint \frac{M(x)}{EI} \, dx \, dx + Cx + D
$$
叠加原理
叠加原理表明，将荷载分为几部分，先将各部分荷载分别作用在构件上，求出每部分载荷引起的应力或位移，将以上结果相加，即可得到总的应力或位移。
扭矩图
方向：右手定则，四手指沿着扭矩或转角的旋转方向握拳，若拇指指向纵轴的横截面向外，则扭矩为正；反之为负。
扭转公式
$$
\tau = \frac{T \rho}{J}
$$
$$
\tau_{\text{max}} = \frac{T c}{J}
$$
$\tau$ 表示扭转应力。
$\tau_{\text{max}}$ 表示杆上的最大扭转应力（也称为最大剪应力），发生在杆的最外围。
$T$ 是作用在杆或轴上的扭矩，可由扭转引起的力矩表示。
$\rho$ 是从杆的中心到考虑点的距离。
$c$ 是杆的外径，即从杆的中心到杆的最外边缘的距离。
$J$ 是杆截面的极惯性矩，它是截面对抗扭转的几何特性的度量。
扭转角
$$
\phi = \int_{0}^{L} \frac{T(x)}{J(x)G(x)} \, dx
$$
$\phi$ = 扭转角，单位为弧度
$T(x)$ = 在截面 $x$ 处梁或轴的扭矩，由扭转引起的力矩表示
$J(x)$ = 截面 $x$ 处的极惯性矩，对抗扭转的截面特性
$G$ = 剪切模量，描述材料抵抗剪切变形的能力
一般用
$$
\phi=\frac{TL}{JG}
$$
摩尔圆
圆的方程为
$$
\left[ \sigma_{\theta} - \left( \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \right)^2 \right] + \tau_{\theta}^2 = \left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2
$$
摩尔圆的应用
压杆稳定
一般公式
欧拉临界载荷公式
欧拉临界载荷公式表示为：
$$
P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}
$$
其中：
$$ P_{cr} $$ 是构件失稳前的临界轴向载荷。
$$ E $$ 是材料的弹性模量。
$$ I $$ 是截面的惯性矩。
$$ L $$ 是构件的长度。
$$ K $$ 是柱子长度系数，用于考虑边界条件对临界载荷的影响。
两端铰接压杆：K=1
一端固定一端自由压杆: K=2
两端固定压杆：K=0.5
一端铰接一端固定压杆:K=0.7
铰接理想压杆
$$
\sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{(L/r)^2}
$$
其中：
$$ \sigma_{cr} $$ 是临界应力，屈曲失稳前的最大应力，也是理论应力。
$$ E $$ 是材料的弹性模量。
$$ L $$ 是杆件的长度。
$$ r $$ 是截面的最小回转半径。
$$ L/r $$ 是杆件的长度与最小回转半径的比值，也称为杆件的长细比。
虚功原理
$$
\Delta = \sum \int \left( \frac{ \overline{M}M_P}{EI} + \frac{ \overline{F_N}F_{NP}}{EA} + \frac{k\overline{F_Q}F_{QP}}{GA} \right) \mathrm{d}s
$$
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